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(2012•大庆)已知等边△ABC的边长为3个单位,若点P由A出发,以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动,第一次回到点A处停止运动,设AP=S,用t表示运动时间.
(1)当点P由B到C运动的过程中,用t表示S;
(2)当t取何值时,S等于
7
(求出所有的t值);
(3)根据(2)中t的取值,直接写出在哪些时段AP
7
分析:(1)用t表示出PB的长,利用余弦定理即可表示出AP的长;
(2)令S等与
7
,建立关于t的方程,解答即可;
(3)利用(2)中所求,即可得出AP
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时t的取值.
解答:解:(1)∵AB=3,BP=t-3;
∴AP2=32+(t-3)2-2×3•(t-3)•cos60°
=9+9-6t+t2-6(t-3)×
1
2

=18-6t+t2+9-3t
=t2-9t+27,
∴S=
t2-9t+27


(2)当t在BC上时,
∵S=
7

∴t2-9t+27=7,
解得t1=4,t2=5;
当p在AB上时,t=
7

当p在CA上时,t=9-
7

当点P在BC上时,由(2)∵S=
t2-9t+27
开口向上,
与S=
7
交点横坐标为t1=4,t2=5;
综上所述:t=4或t=5或
7
或9-
7


(3)根据(2)可知:0≤t<
7
;4<t<5;9-
7
<t≤9;
这三个时间段内S<
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点评:本题考查了等边三角形的性质、余弦定理、一元二次方程与二次函数之间的关系,难度较大,会解一元二次方程是解题的关键.
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4
4

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6cm2
6cm2
;Ⅱ)圆扫过的区域面积为
(42+π)cm2
(42+π)cm2

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