Question

【题目】如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．

②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．

③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．

④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

①设点A（m，），M（n，），

则直线AC的解析式为y=-x++，

∴C（m+n，0），D（0，），

∴，

∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；

∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，

∴O是AB的中点，

∵BM⊥AM，

∴OM=OA，

∴k=mn，

∴A（m，n），M（n，m），

∴，

∴AM不一定等于OM，

∴∠BAM不一定是60°，

∴∠MBA不一定是30°．故②错误，

∵M点的横坐标为1，

∴可以假设M（1，k），

∵△OAM为等边三角形，

∴OA=OM=AM，

1+k2=m2+，

∵m＞0，k＞0，

∴m=k，

∵OM=AM，

∴（1-m）2+(k)2=1+k2，

∴k2-4k+1=0，

∴k=2±，

∵m＞1，

∴k=2+，故③正确，

如图，作MK∥OD交OA于K．

∵OF∥MK，

，

∴，

∵OA=OB，

∴，

∴，

∵KM∥OD，

∴，

∴DM=2AM，故④正确．

故答案为①③④．