Question

【题目】如图1，点为正的边上一点（不与点重合），点分别在边上，且.

（1）求证：；

（2）设，的面积为，的面积为，求（用含的式子表示）；

（3）如图2，若点为边的中点，求证： .

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（2）如图2中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE，S2=CDFH=bCF，可得S1S2=abBECF，由（1）得△BDE∽△CFD，，即BEFC=BDCD=ab，即可推出S1S2=a2b2；
（3）想办法证明△DFE∽△CFD，推出，即DF2=EFFC；

（1）证明：如图1中，

在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B=180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC，
∵∠EDF=∠B，
∴∠DEB=∠FDC，
又∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．

（2）如图2中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，

S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE，S2=CDFH=bCF，
∴S1S2=abBECF
由（1）得△BDE∽△CFD，
∴，即BEFC=BDCD=ab，
∴S1S2=a2b2．

（3）由（1）得△BDE∽△CFD，
∴，
又BD=CD，
∴，
又∠EDF=∠C=60°，
∴△DFE∽△CFD，
∴，即DF2=EFFC．