Question

如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer 1

（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，
∴OA=OB•cos30°=8×=4，
AB=OB•sin30°=8×=4，
∴点B的坐标为（4，4）；

（2）证明：∵∠OAB=90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵DB=DO=4
∴DB=AB=4
∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ADB=∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；

（3）解：设OG的长为x，
∵OC=OB=8，
∴CG=8-x，
由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，
在Rt△AOG中，AG²=OG²+OA²，
即（8-x）²=x²+（4）²，
解得：x=1，
即OG=1．
分析：（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；
（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）²=x²+（4）²，解此方程即可求得OG的长．
点评：此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．