Question

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

（1） （2）证明OC⊥CD，得直线CD是⊙O的切线

试题分析：（1）AP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，；在中由三角函数的定义得，又因为AB=2，∠P=30°，所以
（2）连接OC、OD，如图所示

由题知OB=OC，；AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，；AB是⊙O的直径，O是AB的中点，若D为AP的中点，所以OD是的中位线，则OD//BP，，所以；AP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，，所以，，则，因此OC⊥CD，所以直线CD是⊙O的切线
点评：本题考查三角函数、直线与圆相切，要求考生掌握三角函数的定义，并利用它的定义来解题；掌握直线与圆的性质，会判定直线与圆相切