Question

15．若一元二次方程2x²-1=5x的两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=$\frac{5}{2}$；x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$  （x₁+1）（x₂+1）=3；x²₁+x²₂=$\frac{29}{4}$．

Answer 1

分析 先将方程整理成一般形式，根据根与系数的关系得x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，再把所求代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解答 解：∵一元二次方程2x²-1=5x，即2x²-5x-1=0的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=-$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$+1=3；
x²₁+x²₂=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{25}{4}$+1=$\frac{29}{4}$．
故答案为$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$，3，$\frac{29}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．