【题目】如图,等腰△ABC中,CA=CB=4,∠ACB=120°,点D在线段AB上运动(不与A、B重合),将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,给出下列结论:
①CD=CP=CQ;
②∠PCQ的大小不变;
③△PCQ面积的最小值为;
④当点D在AB的中点时,△PDQ是等边三角形,其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④.
【解析】
试题①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,∴CP=CD=CQ,∴①正确;
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,∴∠ACP=∠ACD,∠BCQ=∠BCD,∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°,∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°,∴∠PCQ的大小不变;∴②正确;
③如图,过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E,∵∠PCQ=120°,∴∠QCE=60°,在Rt△QCE中,tan∠QCE=,∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ,∵CP=CD=CQ,∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=,∴CD最短时,S△PCQ最小,即:CD⊥AB时,CD最短,过点C作CF⊥AB,此时CF就是最短的CD,∵AC=BC=4,∠ACB=120°,∴∠ABC=30°,∴CF=BC=2,即:CD最短为2,∴S△PCQ最小===,∴③错误;
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,∴AD=AP,∠DAC=∠PAC,∵∠DAC=30°,∴∠APD=60°,∴△APD是等边三角形,∴PD=AD,∠ADP=60°,同理:△BDQ是等边三角形,∴DQ=BD,∠BDQ=60°,∴∠PDQ=60°,∵当点D在AB的中点,∴AD=BD,∴PD=DQ,∴△DPQ是等边三角形,∴④正确,故答案为:①②④.
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,5),(-2,1).
(1)写出点C及点C关于y轴对称的点C′的坐标;
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如图,已知直角△ABC中,∠ABC=90°,BC为圆O的直径,D为圆O与斜边AC的交点,DE为圆O的切线,DE交AB于F,且CE⊥DE.
(1)求证:CA平分∠ECB;
(2)若DE=3,CE=4,求AB的长;
(3)记△BCD的面积为S1,△CDE的面积为S2,若S1:S2=3:2.求sin∠AFD的值.
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【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形
B. 当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形
C. 当AC=BD时,平行四边形ABCD是正方形
D. 当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形
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【题目】投资1万元围一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造.墙长24 m,平行于墙的边的费用为200元/m,垂直于墙的边的费用为150元/m,设平行于墙的边长为x m.
(1)设垂直于墙的一边长为y m,直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若菜园面积为384 m2,求x的值;
(3)求菜园的最大面积.
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【题目】如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P.
(1)当抛物线F经过点C时,求它的解析式;
(2)设点P的纵坐标为yP,求yP的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2≤-2,比较y1与y2的大小.
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【题目】某校根据课程设置要求,开设了数学类拓展性课程,为了解学生最喜欢的课程内容,随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选中其中一项),并将统计结果绘制成如下统计图(不完整),请根据图中信息回答问题:
(1)求m,n的值.
(2)补全条形统计图.
(3)该校共有1200名学生,试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数.
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【题目】下列说法正确的是
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近
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【题目】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是
A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
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