Question

直线y=-

3

x+2k与双曲线y=

3 k

x

，其中k＞0，交于B、C两点（其中B在点C的上方），直线与y轴的交点为A点，若AB+AC=

8 3

3

，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：直线y=-

3

x+2k与x轴交于D点，作BE⊥y轴于E点，CF⊥y轴于F点，先确定A（0，2k），D（

2 3 k

3

，0），再根据正切的定义可计算出∠OAD=30°，则AB=2BE，AC=2CF，
设B点坐标为（x₁，y₁），C点坐标为（x₂，y₂），然后解两函数解析式所组成的方程组得到关于x的一元二次方程

3

x²-2kx+

3

k=0，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=

2k

3

=

2 3 k

3

，根据AB+AC=

8 3

3

得到2×

2 3

3

k=

8 3

3

，最后解关于k的一次方程即可．

解答：解：如图，直线y=-

3

x+2k与x轴交于D点，作BE⊥y轴于E点，CF⊥y轴于F点，
∵A点坐标为（0，2k），D点坐标为（

2 3 k

3

，0），
∴tan∠OAD=

OD

OA

=

2 3 k 3

2k

=

3

3

，
∴∠OAD=30°，
∴AB=2BE，AC=2CF，
设B点坐标为（x₁，y₁），C点坐标为（x₂，y₂），
解方程组

y=- 3 x+2k y= 3 k x

得

3

x²-2kx+

3

k=0，
∴x₁+x₂=

2k

3

=

2 3 k

3

，
∵AB+AC=

8 3

3

，
∴2（BE+CF）=

8 3

3

，
∴2×

2 3

3

k=

8 3

3

，
∴k=2．
故答案为2．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了特殊角三角形函数以及一元二次方程根与系数的关系．