Question

5．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x-4与x轴交于B，C，与y轴交于A，点P是抛物线上一点，且∠ACP+∠OAB=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，解得：x₁=-2，x₂=4，得到B（-2，0），C（4，0），令x=0，则y=-4，得到A（0，-4），求得OA=OC=4，OB=2，推出∠ACO=45°，过A，C分别作c轴，y轴的平行线交于G，则四边形OAGC是正方形，得到∠ACG=45°，AP′=OC=4，作∠OCP=∠GCP′=∠BAO分别交y轴，x轴于M，N，交抛物线与P，P′，根据相似三角形的性质得到M（0，-2），N（2，-4），求得直线CM的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2，直线CN的解析式为：y=2x-8，解方程组即可得到结论．

解答 解：令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，解得：x₁=-2，x₂=4，
∴B（-2，0），C（4，0），
令x=0，则y=-4，
∴A（0，-4），
∴OA=OC=4，OB=2，
∴∠ACO=45°，
过A，C分别作c轴，y轴的平行线交于G，
则四边形OAGC是正方形，
∴∠ACG=45°，AP′=OC=4，
作∠OCP=∠GCP′=∠BAO分别交y轴，x轴于M，N，交抛物线与P，P′，
则△AOB∽△COM∽△CNG，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OM}{OC}=\frac{GN}{CG}$=$\frac{1}{2}$，
∴OM=2，P′N=AN=2，
∴M（0，-2），N（2，-4），
∴直线CM的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2，
直线CN的解析式为：y=2x-8，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-8}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴P（-1，-$\frac{5}{2}$），P′（2，-4），
∴点P的坐标是（-1，-$\frac{5}{2}$）或（2，-4）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，相似三角形的性质和判定，待定系数法求函数的解析式，正方形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．