Question

19．几何模型：
如图1，AB∥CD，O是BD的中点，求证：OA=OC；
模型应用：
（温馨提示：模型应用是指应用模型结论直接解题）
（1）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是腰DC的中点，AE平分∠DAF，求证：AE⊥EF；
（2）如图3，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦DC∥AB，点E是OD的中点，点O到AC的距离为1厘米，试求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 几何模型：由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠B=∠D，∠A=∠C，又O是BD的中点，可得OB=OD，根据AAS定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质得OA=OC；
模型应用：（1）由AD∥BC，点E是腰DC的中点，由平行线的性质可得AE=EH，∠DAH=∠AHC，AE平分∠DAF，由角平分线的性质可得∠DAH=∠FAH，由等腰三角形的性质可得结论；
（2）连接OC，由AD∥BC，点E是腰DC的中点，可得AE=EC，由OA=OC，得△AOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质得，OD⊥AC，∠AOD=∠COD，在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所以$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，因为DC∥AB，由平行线的性质得，∠DCA=∠CAB，所以$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，等量代换得$\widehat{AD}=\widehat{DC}=\widehat{BC}$，得∠CAB=30°，∠BOC=60°，因S_阴=S_△AOC+S_扇形BOC，利用三角形和扇形的面积公式代入求得结果．

解答 几何模型：
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
在△ABO与△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠A=∠C}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO，
∴OA=OC；

模型应用：
（1）证明：延长AE交BC的延长线于点H，
AD∥BC，点E是腰DC的中点，
∴AE=EH，∠DAH=∠AHC，
又∵AE平分∠DAF，
∴∠DAH=∠FAH，
∴∠FAH=∠AHC，
∴AF=FH，
∴AE⊥EF；

（2）解：连接OC，
∵DC∥AB，点E是OD的中点，
∴AE=EC，
∵OA=OC，
△AOC是等腰三角形，
∴OD⊥AC，∠AOD=∠COD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
$\widehat{AD}=\widehat{DC}=\widehat{BC}$，
∴∠CAB=30°，∠BOC=60°，
∵点O到AC的距离为1厘米，
∴OE=1，OA=OB=2，
在Rt△OEA中，AE=$\sqrt{3}$，AC=2AE=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴=S_△AOC+S_扇形BOC
=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×1+$\frac{60°{π•2}^{2}}{360°}$=$\sqrt{3}$+$\frac{2π}{3}$（厘米²）．

点评 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等等定理以及三角形和扇形的面积公式，综合运用相关知识是解答此题的关键．