Question

16．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B（2，0），交y轴于点C（0，-$\frac{5}{2}$）．直线y=mx+$\frac{3}{2}$过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点（不与点B、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作DM⊥y轴于点M．
（1）求抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的表达式及点D的坐标；
（2）若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；
（3）过点P作PF⊥BD于点F，设△PEF的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，直线的解析式，根据解方程组，可得D点坐标；
（2）根据y轴上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MN，PE的长，根据平行四边形的判定，可得关于x的方程，根据解方程，可得P的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得DN的长，根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{24}{C}$=$\frac{10}{-\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{3}{2}a+4}$，根据比例的基本性质，可得答案．

解答 解：（1）将B，C点坐标代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}×4+2b+c=0}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{4}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$．
∵直线y=mx+$\frac{3}{2}$过点B（2，0），
∴2m+$\frac{3}{2}$=0，
解得m=-$\frac{3}{4}$，
直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．
联立直线与抛物线，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
解得x₁=-8，x₂=2（舍），
∴D（-8，7$\frac{1}{2}$）；

（2）∵DM⊥y轴，
∴M（0，7$\frac{1}{2}$），N（0，$\frac{3}{2}$）
∴MN=7$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$=6．
设P的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），E的坐标则是（x，-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）
PE=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∵PE∥y轴，要使四边形PEMN是平行四边形，必有PE=MN，
即-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=6，解得x₁=-2，x₂=-4，
当x=-2时，y=-3，即P（-2，-3），
当x=-4时，y=-$\frac{3}{2}$，即P（-4，-$\frac{3}{2}$），
综上所述：点P的坐标是（-2，-3）和）（-4，-$\frac{3}{2}$）；

（3）在Rt△DMN中，DM=8，MN=6，
由勾股定理，得
DN=$\sqrt{D{M}^{2}+M{N}^{2}}$=10，
∴△DMN的周长是24．
∵PE∥y轴，
∴∠PEN=∠DNM，
又∵∠PFE=∠DMN=90°，
∴△PEF∽△DMN，
∴$\frac{{C}_{△DMN}}{{C}_{△PEF}}$=$\frac{DN}{PE}$，
由（2）知PE=-$\frac{1}{4}$a²-$\frac{3}{2}$a+4，
∴$\frac{24}{C}$=$\frac{10}{-\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{3}{2}a+4}$，
∴C=-$\frac{3}{5}$a²-$\frac{18}{5}$a+$\frac{48}{5}$，
C=-$\frac{3}{5}$（a+3）²+15，
C与a的函数关系式为C=-$\frac{3}{5}$a²-$\frac{18}{5}$a+$\frac{48}{5}$，
当x=-3时，C的最大值是15．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法得出函数解析式，又利用了解方程组；解（2）的关键是利用平行四边形的判定得出-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=6，解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出$\frac{24}{C}$=$\frac{10}{-\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{3}{2}a+4}$．