Question

圆Q交x轴于原点右侧的A、B两点，并切y轴于原点下方的C点，如图所示．已知|AB|=3，|AC|=

5

．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果抛物线经过A、B、C三点，求这条抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）可设出A的作为（x，0），根据AB的距离可表示出B的坐标，根据切割线定理可知：OC²=OA•OB，而在直角三角形AOC中，OC²=AC²-OA²，结合两个表示OC²的式子即可求出A、B的坐标，进而可求出C的坐标．
（2）根据（1）得出的A、B、C三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）设A（x，0）、B（x+3，0）、C（0，y），
根据切割线定理，得y²=x（x+3）①，
又有：x²+y²=|AC|²=5②，
结合①②，消去y，
得2x²+3x-5=0．
解得：x=1或x=-

5

2

（舍）．
∴y=-2．
∴A、B、C三点的坐标分别是A（1，0）、B（4，0）、C（0，-2）．

（2）设过两点的抛物线为y=a（x-1）（x-4），
∵它过点C（0，-2），
∴-2=a（0-1）（0-4），
∴a=

-2

4

=-

1

2

．
∴抛物线的方程为y=-

1

2

（x-1）（x-4）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，根据切割线定理和勾股定理求出各点的坐标是解题的关键．