【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、E位于⊙O上AB两侧.在BA的延长线上取点D,使∠ACD=∠B.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)当BC=EC时,求证:AC2=AEAD;
(3)在(2)的条件下,若BC=4,AD:AE=5:9,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连接OC,证明∠DCO=90°即可.
(2)连接BE.证明△ACD∽△AEC可得结论.
(3)设AD=5k,AE=9k,则AC=3k,由△ACD∽△AEC,可得=,推出CD=,由△DCA∽△DBC,可得CD2=DADB,推出DB=,推出AB=﹣5k,根据AC2+BC2=AB2,构建方程求出k即可解决问题.
(1)证明:连接OC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠ACO+∠B=90°,
又∵∠ACD=∠B,
∴∠ACD+∠ACO=90°,
∴∠DCO=90°,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:连接BE.
∵BC=EC,
∴,
∴∠CAB=∠CBE,
∵四边形CAEB内接于圆,
∴∠CBE+∠CAE=180°,
又∵∠CAD+∠CAB=180°,
∴∠CAD=∠CAE,
又∵∠ACD=∠B,∠B=∠AEC,
∴∠ACD=∠AEC,
∴△ACD∽△AEC,
∴.
∴AC2=AEAD;
(3)解:设AD=5k,AE=9k,则AC=3k,
∵△ACD∽△AEC,
∴=,
∴=,
∴CD=,
∵∠D=∠D,∠ACD=∠CBD,
∴△DCA∽△DBC,
∴CD2=DADB,
∵DB=,
∴AB=﹣5k,
∵∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2,
∴(3k)2+(4)2=()2,
整理得:81k4+684k2﹣320=0,
∴(9k2+80)(9k2﹣4)=0,
∴k2=,
∵k>0,
∴k=,
∴AB=,
∴⊙O的半径为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某公司组织员工到附近的景点旅游,根据旅行社提供的收费方案,绘制了如图所示的图象,图中折线ABCD表示人均收费y(元)与参加旅游的人数x(人)之间的函数关系.
(1)当参加旅游的人数不超过10人时,人均收费为 元;
(2)如果该公司支付给旅行社3600元,那么参加这次旅游的人数是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=4,∠BAC=30°,点O为对角线AC上的动点(不与A、C重合),以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O,交AC于点E、F.
(1)当半圆O过点A时,求半圆O被AB边所截得的弓形的面积;
(2)若M为的中点,在半圆O移动的过程中,求BM的最小值;
(3)当半圆O与矩形ABCD的边相切时,求AE的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“知识改变命运,科技繁荣祖国”,某市中小学每年都要举办一届科技比赛.如图为某市某校2015年参加科技比赛(包括电子百拼、航模、机器人、建模四个类别)的参赛人数统计图:
(1)该校参加科技比赛的总人数是 人,电子百拼所在扇形的圆心角的度数是 度,并把条形统计图补充完整;
(2)从全市中小学参加科技比赛选手中随机抽取80人,其中有32人获奖.今年某市中小学参加科技比赛人数共有2485人,请你估算今年参加科技比赛的获奖人数约是多少人.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,已知△ABC是边长为8的等边三角形,∠EBD=30°,BE=DE,连接AD,点F为AD的中点,连接EF.将△BDE绕点B顺时针旋转.
(1)如图2,当点E位于BC边上时,延长DE交AB于点G.
①求证:BG=DE;
②若EF=3,求BE的长;
(2)如图3,连接CF,在旋转过程中试探究线段CF与EF之间满足的数量关系,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读材料:
关于三角函数还有如下的公式:
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.
例:
=
=
=
=
==
根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下面问题
(1)计算:sin15°;
(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1),小华想用所学知识来测量该铁塔的高度,如图2,小华站在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.(精确到0.1米,参考数据)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】由于新冠肺炎影响,全国开展了“停课不停学”线上教学,为了解学生在家学习情况,五月7日开学后,某中学1200名学生参加了入学摸底测试,为了了解本次测试成绩情况,王老师从中抽取了部分学生的数学成绩(得分取整数,满分为100分)作为样本进行统计,并制作了如图频数分布表和频数分布直方图(不完整且局部污损,其中“■”表示被污损的数据).请解答下列问题:
成绩分组 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合计 | ■ | 1 |
(1)写出a,b,c的值;
(2)请估计这1200名学生中有多少人的成绩不低于70分;
(3)在选取的样本中,从成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学参加学习经验分享活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】新型冠状病毒肺炎疫情发生后,全社会积极参与疫情防控工作,某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务,安排甲、乙两个大型工厂完成.已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍,并且在独立完成60万只口罩的生产任务时,甲厂比乙厂少用5天.问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:PB是的切线.
(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com