Question

8．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）、点B与y轴相交于点C（0，3），下列结论：
①b=-2；②B点坐标为（-3，0）；③抛物线的顶点坐标为（-1，3）；④直线y=h与抛物线交于点D、E，若DE＜2，则h的取值范围是3＜h＜4；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使△QAC的周长最小，则Q点坐标为（-1，2）．其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出b、c的值，结论①正确；②利用分解因式法将二次函数解析式变形为交点式，由此即可得出点B的坐标，结论②正确；③利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的顶点坐标，结论③不正确；④求出当DE=2时h的值，结合抛物线的顶点坐标，即可得出h的取值范围是3＜h＜4，结论④正确；⑤根据两点之间线段最短，找出△QAC的周长取最小值时点Q的位置，根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标，结论⑤正确．综上即可得出结论．

解答 解：①将A（1，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴结论①正确；
②∵y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），
∴点B的坐标为（-3，0），结论②正确；
③∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4），结论③不正确；
④∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴-1+1=0．
当x=0时，y=-x²-2x+3=3．
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），
∴直线y=h与抛物线交于点D、E，若DE＜2，则h的取值范围是3＜h＜4，结论④正确；
⑤连接BC，交抛物线的对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小，如图所示．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（-3，0）、C（0，3）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+3．
当x=-1时，y=x+3=2，
∴当△QAC的周长最小时，Q点坐标为（-1，2），结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①②④⑤．
故选A．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次（二次）函数解析式、轴对称-最短路线问题以及二次函数的三种形式，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．