Question

九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用——探究的过程：

  (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图②所示的直角坐标系．请你求出抛物线的解析式．

  (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全．问该隧道能否让最宽3m．最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?

  (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型塑．提出了以下两个问题，请予解答：

Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为，求的最大值。

Ⅱ．如图④，过原点作一条的直线OM，交抛物线于点M．交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q。问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：根据题意可知：抛物线的顶点坐标为(5，6.25)，∴设函数解析式为y=a(x－5)²+6.25.

又抛物线经过原点（0，0），∴0=a(0-5)²+6.25. 解得：a=－

∴函数解析式为y=－(x－5)²+6.25   （0≤x≤10）

解：,设并行的两车为矩形ABCD，∴AB=3×2=6,AD=3.5 

∴A点横坐标为2，代入y=－(x－5)²+6.25

∴y=－(2－5)²+6.25=4＞3.5

所以该隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶

解：设A点横坐标为m，则AB=10-2m，D（m，）

∴矩形ABCD的周长为l=2（AD+AB）=2（10-2m+）==

∵a=－＜0，抛物线开口向下，  ∴当m=1，矩形ABCD的周长l的最大值为

解：存在这样的点P，使得△PNQ为等腰直角三角形。

直线OM：y=x与对称轴的交点N（5，5）,与直线段PQ交于点P，显然当Q点纵坐标为5时,QN//x轴,∠ONQ=∠NOx=45°,△PQN为等腰直角三角形。

此时，5=，解得：m=5±

∴当P(5-，5-)或P(5+，5+)时，△PQN为等腰直角三角形。