Question

12．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠FAD的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，求证：$\sqrt{2}$AD=AF+2DM；
（3）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．若AF=$8\sqrt{2}$，AN=10，则BM的长为$\frac{32\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先在BC上截取BG=BE，连接EG，求出∠BGE=45°，即可求出∠CGE=135°；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△AEF≌△GCE，求出∠EAF=135°，即可求出∠FAD的度数；
（2）首先延长AF、CD交于点H，判断出∠FAD=45°，进而判断出四边形ABDH是平行四边形，推得DH=AB=CD，即可推得DM是△CFH的中位线，所以FH=2DM；然后在等腰直角三角形HAD中，根据AH=$\sqrt{2}$AD，可推得$\sqrt{2}$AD=AF+2DM．
（3）首先根据AF=8$\sqrt{2}$，AN=10，$\sqrt{2}$AD=AF+2MD，可得$\sqrt{2}$（10+DN）=8$\sqrt{2}$+2MD；然后根据AF∥DM，判断出△AFN∽△DMN，即可判断出$\frac{AN}{DN}=\frac{AF}{DM}$，据此推得DN、MD的关系，求出MD的长为多少即可．

解答 （1）解：在BC上截取BG=BE，连接EG，如图1所示：
∵BG=BE，∠EBG=90°，
∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AE=GC，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠GCE+∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠GCE，
在△AEF和△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}&{\;}\\{∠AEF=∠GCE}&{\;}\\{EF=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GCE（SAS），
∴∠EAF=∠CGE=135°，
∴∠FAD=135°-90°=45°；
（2）证明：延长AF、CD交于点H，如图2所示：
由（1）知，∠EAF=135°，
∴∠FAD=135°-90°=45°，
∵∠ADB=45°，
∴AH∥BD，
又∵AB∥HD，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴DH=AB=CD，
即D是CH的中点，
∴DM是△CFH的中位线，
∴FH=2DM，
在等腰直角三角形HAD中，
AH=$\sqrt{2}$AD，
∵AH=AF+FH=AF+2DM，
∴$\sqrt{2}$AD=AF+2DM；
（3）解∵AF=8$\sqrt{2}$，AN=10，$\sqrt{2}$AD=AF+2DM，
∴$\sqrt{2}$（10+DN）=8$\sqrt{2}$+2DM，
∵AF∥DM，
∴△AFN∽△DMN，
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{AF}{DM}$，即$\frac{10}{DN}=\frac{8\sqrt{2}}{DM}$，
∴DN=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$DM，
把DN=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$DM代入$\sqrt{2}$（10+DN）=8$\sqrt{2}$+2DM，
整理，解得：DM=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴DN=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$×$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴AD=AN+DN=10+$\frac{10}{3}$=$\frac{40}{3}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=$\frac{40}{3}$，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$AD=$\frac{40\sqrt{2}}{3}$，
∴BM=BD-DM=$\frac{40\sqrt{2}}{3}$-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$；
故答案为：$\frac{32\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．