Question

（2012•嘉定区一模）己知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，高BE、CF所在的直线相交于点D（如图）
（1）当∠BAC是锐角时，求证：△ABC∽△AEF；
（2）当∠BAC是钝角时，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，无需说明理由；
（3）如果∠BAC=60°，求

S△AEF

S△ABC

的值．

Answer 1

分析：（1）根据BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，得出∠AEB=∠AFC=90°，即可求出△ABE∽△ACF，得出

AE

AB

=

AF

AC

，从而证出△ABC∽△AEF；
（2）先作出图形，证明的方法和（1）一样．
（3）在Rt△ABE中，根据∠BAC=60°，得出∠ABE=30°，从而得出

AE

AB

=

1

2

，即可求出

S△AEF

S△ABC

的值．

解答：解：（1）∵AB⊥CF，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACF，
∴

AE

AF

=

AB

AC

，
∴

AE

AB

=

AF

AC

，
∴△ABC∽△AEF；

（2）△ABC∽△AEF成立，
如图：


（3）在Rt△ABE中，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴

AE

AB

=

1

2

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

1

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两条边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例，对应角相等．