Question

20．如图①所示的图形像我们常见的学习用品-圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=40°；
②如图③，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图①，∠ABD、∠ACD的10等分线分别相交于点G₁、G₂、…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，进而可得答案．

解答 解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；
且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因为∠A=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
故答案是：40；

②由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③∠BG₁C═$\frac{1}{10}$（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴$\frac{1}{10}$（140-x）+x=77，
14-$\frac{1}{10}$x+x=77，
x=70
∴∠A为70°．

点评 本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．