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如图,点C是直径为4的半圆O上的一个动点(与A、B两点不重合),CD⊥AB于D,点P是线段AC的中点,设BD=x,DP=y.
(1)求y与x的函数关系式,并写出定义域;
(2)如果∠B=数学公式∠A,求BD的长;
(3)是否存在这样的x,使tanB=数学公式,如果存在,请求出x的值?如果不存在,请说明理由.

解:(1)连接OP,
∵P是AC的中点,
∴OP⊥AC,又CD⊥AB,
∴∠OPA=∠CDA=90°,又∠OAP=∠CAD,
∴△AOP∽△ACD,

∵P为AC中点,
∴AP=PC=AC,又CD⊥AD,即△ADC为直角三角形,
∴DP=AC,又AB=4,DP=y,BD=x,
∴AC=2y,AP=y,AO=2,AD=4-x,
=
∴y=(0<x<4);

(2)当∠B=∠A时,
∵AP=DP,
∴∠A=∠PDA,
∵∠B=∠A,即∠A=2∠B,
∴∠PDA=2∠B,又∠PDA为△PDB的外角,
∴∠PDA=∠B+∠BPD,
∴∠B=∠BPD,
∴DP=DB,
即y=x,即x2+x-4=0,
解得:x1=,x2=(舍去),
∴BD=

(3)作PE⊥AO,又CD⊥AB,
∴PE∥CD,又P为AC中点,
∴E为AD中点,即PE为△ACD的中位线,
在直角三角形ACD中,AC=2y,AD=4-x,又y=
根据勾股定理得:CD=
===
∴PE=
∵PA=PD,PE⊥AD,
∴E为AD中点,即ED=AD=(AB-BD)=(4-x),
∴BE=DE+BD=
∴tgB=
化简得:5x2-8x+16=0,
∵△=(-8)2-4×5×16=<0,即方程无实根,
∴不存在这样的x,使tanB=
分析:(1)连接OP,由垂径定理得到OP与AC垂直,又CD与AB垂直,得到一对直角相等,再由∠A为公共角,根据两对对应角相等的三角形相似,得到三角形AOP与三角形ACD相似,由相似得比例,再由直角三角形ACD中,P为斜边AC的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AP=PD=y,由直径为4得到圆的半径OA=2,且AD=AB-BD=4-x,分别把表示出的各条边代入得到的比例式中,即可得到y与x的关系式,根据x表示线段BD故x大于0,且负数没有平方根得到x小于4(D不与A、B重合,故x不等于4),从而得到函数的定义域;
(2)由∠B=∠A得到∠A=2∠B,而AP=PD,根据等边对等角得到∠A=∠PDA,故∠PDA=2∠B,又∠PDA为三角形PDB的外角,根据三角形的外角性质得∠PDA=∠B+∠BPD,等量代换得到∠BPD=∠PBD,根据等角对等边得到PD=BD,即y=x,把(1)得到的函数关系式中y换为x,得到关于x的一元二次方程,求出方程的解即可得到BD的长;
(3)在直角三角形ACD中,由AD与AC的长,根据勾股定理表示出CD的长,由PE与CD都与AD垂直得到PE与CD平行,根据P为AC中点得到E为AD中点,即PE为三角形ACD的中位线,根据三角形中位线定理得到PE等于CD的一半,进而表示出PE,又E为AD的中点,得ED等于AD的一半,即DE等于AD-BD的一半,表示出ED的长,用DE+BD表示出EB的长,在直角三角形PBE中,根据正切函数的定义列出关于x的方程,由根的判别式小于0得到此方程无解,故不存在这样的x,使tanB为
点评:此题综合考查了相似三角形的判断与性质,三角形的中位线定理,勾股定理以及一元二次方程的解法,是一道探究型的题,第一问是探究两变量之间的关系,利用垂径定理添加辅助线,构造相似三角形是解本问的关键;第三问是探究存在性的题,解答此类题常常先对结论作出存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件、图形以及已证的条件,借助数学思想和方法,进行正确的计算和推理,若矛盾,说明不存在;若无矛盾,说明假设正确.
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