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如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.


解:(1)由题意,可得C(1,3),D(3,1).

∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:y=ax2+bx.

,解得

∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+x.

 

(2)存在.

设直线OD解析式为y=kx,将D(3,1)代入求得k=

∴直线OD解析式为y=x.

设点M的横坐标为x,则M(x,x),N(x,﹣x2+x),

∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣(﹣x2+x)|=|x2﹣4x|.

由题意,可知MN∥AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3.

∴|x2﹣4x|=3.

x2﹣4x=3,整理得:4x2﹣12x﹣9=0,解得:x=或x=

x2﹣4x=﹣3,整理得:4x2﹣12x+9=0,解得:x=

∴存在满足条件的点M,点M的横坐标为:

 

(3)∵C(1,3),D(3,1)

∴易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为y=x.

如解答图所示,

设平移中的三角形为△A′O′C′,点C′在线段CD上.

设O′C′与x轴交于点E,与直线OD交于点P;

设A′C′与x轴交于点F,与直线OD交于点Q.

设水平方向的平移距离为t(0≤t<2),

则图中AF=t,F(1+t),Q(1+t,+t),C′(1+t,3﹣t).

设直线O′C′的解析式为y=3x+b,

将C′(1+t,3﹣t)代入得:b=﹣4t,

∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t.

∴E(t,0).

联立y=3x﹣4t与y=x,解得x=t,∴P(t,t).

过点P作PG⊥x轴于点G,则PG=t.

∴S=SOFQ﹣SOEP=OF•FQ﹣OE•PG

=(1+t)(+t)﹣t•t

=﹣(t﹣1)2+

当t=1时,S有最大值为

∴S的最大值为


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 x

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﹣3

 ﹣6 

﹣12

﹣15

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1

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2

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3

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