Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(4，0)，点C坐标为(0，4)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA=2∠BDE时，求点F的坐标；

(3)若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBGH，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点G或H恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+4；；(2)F(﹣，﹣)或(，)；(3)P的横坐标为或2或0或2﹣

【解析】

(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求出解析式；将解析式化为顶点式即可得出点D的坐标；
(2)在线段DE上取点M，使MD=MB，此时∠EMB=2∠BDE，则∠FBA=∠EMB，即可求解；
(3)分点P在对称轴右侧、点P在对称轴左侧两种情况，利用三角形全等求解即可．

(1)将点B(4，0)、C(0，4)的坐标代入抛物线表达式得：

，解得：，

故抛物线的表达式为：y=-x2+x+4=-(x﹣1)2+；

点D的坐标为

(2)如图1，在线段DE上取点M，使MD=MB，此时∠EMB=2∠BDE，

设ME=a，

由(1)得顶点D的坐标为(1，)，

∵点B、C的坐标分别为(4，0)、(0，4)，

∴BE= BO-EO=4-1=，

∴BM=MD=DE-ME=，

在Rt△BME中，ME2+BE2=BM2，即a2+32=(﹣a)2，解得：a=，

∴tan∠EMB==，

过点F作FN⊥x轴于点N，设点F(m，﹣m2+m+4)，则FN=|﹣m2+m+4|，

∵∠FBA=2∠BDE，

∴∠FBA=∠EMB，

∴tan∠FBA=tan∠EMB=，

∵点B(4，0)、点E(1，0)，

∴BE=3，BN=4﹣m，

∴tan∠FBA=，

解得：m=4(舍去)或﹣或，

故点F(﹣，﹣)或(，)；

(3)①当点P在对称轴右侧时，

(Ⅰ)当点H在y轴上时，如图2，

∵∠MPB+∠CPH=90°，∠CPH+∠CHP=90°，

∴∠CHP=∠MPB，

∵∠BMP=∠PNH=90°，PH=BP，

∴△BMP≌△PNH(AAS)，

∴MB=PC，

设点P(x，y)，则x=y=﹣x2+x+4，

解得：x=或x=(舍去负值)，

故点P的横坐标为；

(Ⅱ)当点G在y轴上时，如图3，

过点P作PR⊥x轴于点R，

同理可得：△PRB≌△BOG(AAS)，

∴PR=OB=4，

即yP=4=﹣x2+x+4，

解得：x=2；

②当点P在对称轴左侧时，

同理可得：点P的横坐标为0或2﹣；

综上，点P的横坐标为或2或0或2﹣．