Question

如图所示，线段AB与直线a所夹锐角为30°，AB=2

3

，在直线a上有一动点C，当△ABC为等腰三角形时，则线段AC的长为

2

3

或2或6

．

Answer 1

分析：由△ABC为等腰三角形时，分情况考虑：当AB=AC₁=AC₃=2

3

时，△ABC为等腰三角形；当AB=BC₂时，△ABC为等腰三角形，过B作BD垂直于直线a，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，再由三线合一得到D为中点，即可求出AC₂的长；当AC₄=BC₄时，△ABC为等腰三角形，过C₄作C₄E⊥AB，由30°所对的直角边等于斜边的一半得到AC₄=2EC₄，且E为AB的中点，求出AE的长，设C₄E=x，则有AC₄=2x，根据勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC₄的长，综上，得到所有满足题意AC的长．

解答：解：当AB=AC₁=AC₃=2

3

时，△ABC为等腰三角形；
当AB=BC₂时，△ABC为等腰三角形，
过B作BD⊥a，可得∠BAD=∠BC₂D=30°，且AD=C₂D，
∴BD=

1

2

AB=

3

，
根据勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=3，
此时AC₂=2AD=6；
当AC₄=BC₄时，△ABC为等腰三角形，
过C₄作C₄E⊥AB，
故∠BAC₄=∠ABC₄=30°，AE=BE=

3

，
设C₄E=x，则有AC₄=2x，根据勾股定理得：x²+（

3

）²=（2x）²，
解得：x=1，
此时AC₄=2x=2，
综上△ABC为等腰三角形时，AC的值为2

3

或2或6．
故答案为：2

3

或2或6．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．