Question

9．已知：正方形ABCD内一点E，连接EA、EB、EC．
（1）若EA²+EC²=2EB²，请说明点E必在对角线AC上．
（2）若EA+EB+EC的最小值为$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得△CBE′，连接EE′．只要证明CE′²+EC²=EE′²，推出∠ECE′=90°，推出∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，即A、E、C共线，推出点E在正方形ABCD的对角线上．
（2）如图2中，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，连结A′C，作A′H⊥BC于H．首先证明△EBE′为等边三角形，推出EE′=BE，A′E′=AE，BA′=BA，∠ABA′=60°，因为A′E′+E′E+EC≥A′C，所以AE+BE+CE≥AC（当且仅当点E′、点E在AC上时，取等号），AE+BE+CE有最小值，最小值为A′C的长，设正方形的边长为a，在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，A′H=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$a，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△A′CH中，根据A′C²=A′H²+CH²，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得△CBE′，连接EE′．

∵BE=BE′，∠EBE′=90°，AE=CE′，
∴EE′=$\sqrt{2}$BE，
∵EA²+EC²=2EB²，
∴CE′²+EC²=EE′²，
∴∠ECE′=90°，
∴∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，
∴A、E、C共线，
∴点E在正方形ABCD的对角线上．

（2）解：如图2中，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，连结A′C，作A′H⊥BC于H．

∵△ABE绕点B逆时针旋转60°得△A′BE′，
∴BE=BE′，∠EBE′=60°，
∴△EBE′为等边三角形，
∴EE′=BE，
∴A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，
∵A′E′+E′E+EC≥A′C，
∴AE+BE+CE≥AC（当且仅当点E′、点E在AC上时，取等号），
∴AE+BE+CE有最小值，最小值为A′C的长，设正方形的边长为a，
在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，
∴A′H=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$a，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴CH=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△A′CH中，A′C²=A′H²+CH²，
∴（$\frac{1}{2}$a）²+（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
解得a=2．
∴正方形的边长为2．

点评 本题正方形的性质、最短问题、旋转变换、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，所以中考常考题型．