Question

【题目】如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相交于点 F，且∠CAD＝∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

Answer 1

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.

（1）设∠CAD=x，

∵∠CAD＝∠ABE，∠BAC＝90，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90，

∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，

∵BF＝AB,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x，

∴∠EFD=∠BFA=90°-x，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x）-(45°-x)=45°；

（3）由（2）可知：EF＝EC，

∴设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，

∴AB=BF=AC=3+x，

∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，

∵∠BAC＝90，

∴，

∴，

解得：，（不合题意，舍去）

∴BF=3+x=3+1=4.