Question

一个直角三角形的两条直角边分别长3cm，4cm，则它的内心和外心之间的距离为

5

2

．

Answer 1

分析：E为直角三角形ABC的内心，F为直角三角形ABC的外心，过E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，过F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，得出ERCT是正方形，推出ER=RC=CT=ET，推出四边形MCTN是矩形，得出CT=MN，CM=NT，求出FM=1.5，设直角三角形ABC的内切圆的半径是r，则ER=RC=CT=ET，根据切线长定理得出方程3-r+4-r=5，求出r=1，得出ER=RC=CT=ET=MN=1，在Rt△ENF中，EN=MR=1，FN=1.5-1=0.5，由勾股定理求出EF即可．

解答：解：
如图，E为直角三角形ABC的内心，F为直角三角形ABC的外心，
过E作ET⊥BC于T，ER⊥AC于R，过F作FM⊥AC于M，TE交FM于N，
则ER=ET，∠C=∠ERC=∠ETC=90°，
∴ERCT是正方形，
∴ER=RC=CT=ET，
∵∠FMC=∠C=∠NTC=90°，
∴四边形MCTN是矩形，
∴CT=MN，CM=NT，
∵F为AB中点，FM∥BC，
∴M为AC中点，
∴FM=

1

2

BC=1.5，MC=AM=2，
设直角三角形ABC的内切圆的半径是r，
则ER=RC=CT=ET，
根据切线长定理得：3-r+4-r=5，
r=1，
即ER=RC=CT=ET=MN=1，
∴MR=2-1=1，
在Rt△ENF中，EN=MR=1，FN=1.5-1=0.5，由勾股定理得：EF=

12+0．52

=

5

2

，
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了勾股定理，切线长定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点的综合运用，综合性比较强，有一定的难度．