Question

设二次函数y₁=ax²+bx+c（a＞b＞c）当自变量x=1时函数值为0，一次函数y₂=ax+b．
（1）求证：上述两个函数图象必有两个不同的交点；
（2）若二次函数图象与x轴有一交点的横坐标为t，且t为奇数时，求t的值．
（3）设上述两函数图象的交点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁，求线段A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

解：（1）当自变量x=1时函数值为0，将其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正负不能确定，
联系两个函数，即两线相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴两个函数图象必有两个不同的交点；

（2）由（1）得，很明显，x=1是二次函数与x轴的一个交点，满足题意，t=1，
如果，另一个根为t，即t≠1，且t为奇数，
则两个根为1，t，
根据韦达定理，
=1×t，-=1+t，
a＞0，c＜0，可知=1×t＜0，即t＜0，
又a＞b，a＞0，有＞，
即1＞，得到-＞-1，
所以，-=1+t＞-1 即t＞-2，
t为奇数，t=-1．
∴t=±1；

（3）上述两函数图象的交点A．B在x轴上的射影分别为A₁．B₁，
有A₁，B₁为ax²+bx+c=ax+b的两根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有两根为
x₁=，x₂=，
A₁B₁=
=
=，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=
=
=． 　　　　A式
现在关键是求的取值范围．
由a＞b，a＞0，有＞，
即1＞，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　＞-，
∴＜＜1分别代入A式为，
∴＜A₁B₁＜2．
分析：（1）将两个解析式组成一个方程组后，然后转化为一个一元二次方程，由根的判别式就可以得出结论．
（2）由条件就可以得出其中一值为1，设出另一交点的横坐标为t，由韦达定理就可以求出t的取值范围，从而可以求出其t值．
（3）由条件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的横坐标，由数轴上的点表示出A₁B₁的值，确定出的取值范围，从而确定出A₁B₁的范围，得出结论．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，勾股定理的运用，函数值的运用及韦达定理的运用．