Question

已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为

ab

a+b

的是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出

OE

BD

=

AE

OD

，代入即可求出r=

ab

a+b

；设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a-x+b-x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出

OF

BC

=

AO

AB

，代入求出y即可．

解答：解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a-x+b-x=c，求出x=

a+b-c

2

，故本选项错误；
B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），
则△BCA∽△OFA，∴

OF

BC

=

AO

AB

，
∴

y

a

=

b-y

c

，解得：y=

ab

a+c

，故本选项错误；
C、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形，
∴OE=EC=CD=OD，
设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
∴

OE

BD

=

AE

OD

，

r

a-r

=

b-r

r

，
解得：r=

ab

a+b

，故本选项正确；
D、O点连接三个切点，从上至下一次为：OD，OE，OF；并设圆的半径为x；
容易知道BD=BF，所以AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；
又∵b-x=AE=AD=a+x-c；所以x=

b+c-a

2

，故本选项错误．
故选C．

点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．