Question

8．阅读与应用．
操作示例
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图（1）所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图（1）中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；
②S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGH}=S_{正方形BNED}．
实践与探究
对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图（2）所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图（2）中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图（1），用数字表示对应的图形）．

Answer 1

分析 ①首先证明四边形MNED是矩形，然后依题意可证出四边形MNED是正方形．根据勾股定理可得正方形MNED的面积．
②过点N做NP⊥BE，然后根据全等三角形的判定求得．

解答 ①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD=CD，
又∵∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE，
∴四边形MNED是正方形．
∵DE²=CD²+CE²=a²+b²，
∴正方形MNED的面积为：a²+b²；

②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图，
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意仔细阅读示例，理解解题方法是关键．