Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF停止运动，此时点D恰好落在AB上．在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动，最终运动到F点．若设△DEF平移的时间为x秒，△PMN的面积为y．
（1）△DEF的边长为

3

；
（2）当x为何值时，P点与M点重合？
（3）当点P在DE上时，x为何值时，△PMN是直角三角形？
（4）求y与x的函数关系式，并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

Answer 1

分析：（1）由题意知：当F与C点重合时D正好在AB上，此时三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根据∠B的正弦值及BC的长求出等边三角形的边长；
（2）根据∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，得出∠BME=∠B，进而得出BE=ME=x，DM=3-x，求出x即可；
（3）根据当0≤x≤1时，①当x=0时，△PMN是直角三角形；②过N作NP⊥DE于P，此时△PMN是直角三角形，求出x即可；
当1＜x≤

3

2

时，△PMN是钝角三角形，不可能是直角三角形．
（4）当P与M重合时，那么根据P的速度可表示出DM的长，而ME=BE为三角形平移的距离，据此可求出x=1．当P到达E点时，DP=DE，可求得此时x=

3

2

．
①当P在DM之间时，即0≤x≤1，MN的长可在直角三角形DMN中，根据DM和∠DMN的余弦值求出，过P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN边上的高，可在直角三角形MPP₁中根据MP的长和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根据DE-DP-ME来得出）．据此可得出关于S，x函数关系式．
②当P在EM之间时，即1＜x≤

3

2

，可过P作PP₂⊥AB与P₂，那么PP₂的长可在直角三角形PP₂M中，根据PM的长和∠BME的正弦值求出，进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式．
③当P在EF上运动时，即

3

2

≤x≤3，解法同上．
根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围，可求得S的最大值及对应的x的值．

解答：（1）解：当F点与C点重合时，如图1所示：
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=

1

2

BC=3；
故答案为：3；

（2）解：∵∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，
∴∠BME=∠B，
∴BE=ME=x，DM=3-x，
当P点与M点重合时，有2x+x=3，
∴x=1；

（3）当0≤x≤1时，
①当x=0时，△PMN是直角三角形；
②过N作NP⊥DE于P，此时△PMN是直角三角形．
∵MP=DE-DP-ME=3-2x-x=3-3x，
MN=MD•cos30°=

3

2

(3-x)，
∴MP=

3

2

MN，
∴3-3x=

3

2

×

3

2

(3-x)，
∴x=

1

3

，
当1＜x≤

3

2

时，△PMN是钝角三角形，不可能是直角三角形，
即当x=0或

1

3

时，△PMN是直角三角形．

（4）①当0≤x≤1时，过P点作PP₁⊥AB，垂足为P₁，
在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP1=

1

2

(3-3x)=

3

2

(1-x)，
∴y与x的函数关系式为：y=

1

2

×

3

2

（3-x）×

3

2

（1-x），
=

3 3

8

（x²-4x+3），
②当1＜x≤

3

2

时，过P点作PP₂⊥AB，垂足为P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP2=

3

2

(x-1)，
∴y与x的函数关系式为：y=

1

2

×

3

2

（3-x）×

3

2

（x-1），
=-

3 3

8

（x²-4x+3）；
③当

3

2

＜x≤3时，过P点作PP₃⊥AB，垂足为P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP3=

3

2

(x-1)，
∴y与x的函数关系式为：
y=

1

2

×

3

2

（3-x）×

3

2

（x-1），
=-

3 3

8

（x²-4x+3），
=-

3 3

8

（x-2）²+

3 3

8

，
∴当x=2时，y最大=

3 3

8

，
而当P点在D点时，x=0，
y=

1

2

×3×

3

2

×

3

2

=

9 3

8

，
∵

9

8

3

＞

3

8

3

，
∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．

点评：此题考查了等边三角形和直角三角形的性质、二次函数的应用等知识，综合性强，此题应注意分类讨论、数形结合的数学思想方法的应用．