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在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=6,等边三角形DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE、DF分别与AB相交于点M、N.当点F运动到点C时,△DEF停止运动,此时点D恰好落在AB上.在△DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动,最终运动到F点.若设△DEF平移的时间为x秒,△PMN的面积为y.
(1)△DEF的边长为
3
3

(2)当x为何值时,P点与M点重合?
(3)当点P在DE上时,x为何值时,△PMN是直角三角形?
(4)求y与x的函数关系式,并说明当P点在何处时,△PMN的面积最大?
分析:(1)由题意知:当F与C点重合时D正好在AB上,此时三角形ACD中,∠ACD=90°-60°=30°,而∠A=60°,因此∠ADC=90°,可在直角三角形BCD中,根据∠B的正弦值及BC的长求出等边三角形的边长;
(2)根据∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°,得出∠BME=∠B,进而得出BE=ME=x,DM=3-x,求出x即可;
(3)根据当0≤x≤1时,①当x=0时,△PMN是直角三角形;②过N作NP⊥DE于P,此时△PMN是直角三角形,求出x即可;
1<x≤
3
2
时,△PMN是钝角三角形,不可能是直角三角形.
(4)当P与M重合时,那么根据P的速度可表示出DM的长,而ME=BE为三角形平移的距离,据此可求出x=1.当P到达E点时,DP=DE,可求得此时x=
3
2

①当P在DM之间时,即0≤x≤1,MN的长可在直角三角形DMN中,根据DM和∠DMN的余弦值求出,过P作PP1⊥MN于P1,那么PP1就是MN边上的高,可在直角三角形MPP1中根据MP的长和∠PMP1的正弦值求出(MP可根据DE-DP-ME来得出).据此可得出关于S,x函数关系式.
②当P在EM之间时,即1<x≤
3
2
,可过P作PP2⊥AB与P2,那么PP2的长可在直角三角形PP2M中,根据PM的长和∠BME的正弦值求出,进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式.
③当P在EF上运动时,即
3
2
≤x≤3,解法同上.
根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围,可求得S的最大值及对应的x的值.
解答:(1)解:当F点与C点重合时,如图1所示:
∵△DEF为等边三角形,
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°,
∴∠BDF=90°
∴FD=
1
2
BC=3;
故答案为:3;

(2)解:∵∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°,
∴∠BME=∠B,
∴BE=ME=x,DM=3-x,
当P点与M点重合时,有2x+x=3,
∴x=1;

(3)当0≤x≤1时,
①当x=0时,△PMN是直角三角形;
②过N作NP⊥DE于P,此时△PMN是直角三角形.
∵MP=DE-DP-ME=3-2x-x=3-3x,
MN=MD•cos30°=
3
2
(3-x)

MP=
3
2
MN

3-3x=
3
2
×
3
2
(3-x)

x=
1
3

1<x≤
3
2
时,△PMN是钝角三角形,不可能是直角三角形,
即当x=0或
1
3
时,△PMN是直角三角形.

(4)①当0≤x≤1时,过P点作PP1⊥AB,垂足为P1
在Rt△PMP1中,PM=3-x-2x=3-3x,
PP1=
1
2
(3-3x)=
3
2
(1-x)

∴y与x的函数关系式为:y=
1
2
×
3
2
(3-x)×
3
2
(1-x),
=
3
3
8
(x2-4x+3),
②当1<x≤
3
2
时,过P点作PP2⊥AB,垂足为P2
在Rt△PMP2中,PM=x-(3-2x)=3(x-1),
PP2=
3
2
(x-1)

∴y与x的函数关系式为:y=
1
2
×
3
2
(3-x)×
3
2
(x-1),
=-
3
3
8
(x2-4x+3);
③当
3
2
<x≤3
时,过P点作PP3⊥AB,垂足为P3
在Rt△PMP3中,PB=x+(2x-3)=3(x-1),
PP3=
3
2
(x-1)

∴y与x的函数关系式为:
y=
1
2
×
3
2
(3-x)×
3
2
(x-1),
=-
3
3
8
(x2-4x+3),
=-
3
3
8
(x-2)2+
3
3
8

∴当x=2时,y最大=
3
3
8

而当P点在D点时,x=0,
y=
1
2
×3×
3
2
×
3
2
=
9
3
8

9
8
3
3
8
3

∴当P点在D点时,△PMN的面积最大.
点评:此题考查了等边三角形和直角三角形的性质、二次函数的应用等知识,综合性强,此题应注意分类讨论、数形结合的数学思想方法的应用.
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