Question

3．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象交于A（1，a），B（3，1）两点．
（1）求点A的坐标及一次函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P．

Answer 1

分析 （1）把A（1，a）代入y=$\frac{3}{x}$即可求出a，即可得到A的坐标，把A，B的坐标代入y=kx+b求得一次函数的解析式为；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入反比例函数$y=\frac{3}{x}$，得a=3，
∴A（1，3），
将点A（1，3）和B（3，1）代入一次函数y=kx+b，得$\left\{\begin{array}{l}k+b=3\\ 3k+b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=4\end{array}\right.$．
∴一次函数的表达式y=-x+4；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，-1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=-2，n=5，
故直线AD的解析式为y=-2x+5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，
故点P坐标（$\frac{5}{2}$，0），

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．