精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2005•襄阳)已知:OE是⊙E的半径,以OE为直径的⊙D与⊙E的弦OA相交于点B,在如图所示的直角坐标系中,⊙E交y轴于点C,连接BE、AC.
(1)当点A在第一象限⊙E上移动时,写出你认为正确的结论:______(至少写出四种不同类型的结论);
(2)若线段BE、OB的长是关于x的方程x2-(m+1)x+m=0的两根,且OB<BE,OE=2,求以E点为顶点且经过点B的抛物线的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使得△PBE是以BE为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明其理由.

【答案】分析:(1)根据圆周角定理可得出∠OBE=∠A,那么BE∥AC,△OBE∽△OAC…本题的答案不唯一,只要正确都可以.
(2)已知了OE=2,根据勾股定理可得出OB2+BE2=(BO+BE)2-2OB•BE=4,然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值,也就能求出OB,BE的长,过B作y轴的垂线,根据三角形面积的不同表示方法即可求出B点的纵坐标,进而可求出其横坐标.然后根据E,B点的坐标,用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式,然后将B点坐标代入即可求出以E为顶点过B点的抛物线的解析式.
(3)本题要分情况进行讨论:
①当∠PBE=90°时,那么P点必为直线OB与抛物线的交点,因此可先求出直线OB的解析式然后联立抛物线的解析式求出P点的坐标.
②当∠BEP=90°时,设直线EP与圆D交于G点,那么四边形EGOB是个矩形,然后参照求B点坐标时的方法求出G点的坐标,再按①的步骤进行求解即可.
解答:解:(1)AC∥BE;AC⊥OA,BE⊥OB,∠OAC=90°;OB=AB,OE=CE;
BE=AC,OA=2OB;∠BEO=∠ACO,∠CAO=∠EBO;=
OB2+BE2=OE2,OA2+AC2=OC2的度数=的度数.

(2)∵BE、OB的长是关于x的方程x2-(m+1)x+m=0的两根.

又∵OE是⊙D直径,且OE=2,
∴∠OBE=90°.
∴OB2+BE2=OE2=4.
即(OB+BE)2-2OB•BE=4.
∴(m+1)2-2m=4,
解之,得m=±
∵BE•OB=m>0
∴m=
将m=代入原方程,得x2-(+1)x+=0
解之,得x1=,x2=1,
∵OB<BE
∴OB=1,BE=
过B作BF⊥x轴于F,则∠BOF=90°-∠BOE=∠OEB=30度.
∴BF=OB=,OF=.即B().
∵抛物线顶点为E(0,2)
∴设抛物线的解析式为y=ax2+2.
将B点坐标代入,得a=-2.
所求抛物线解析式为y=-2x2+2.

(3)抛物线上存在点P,使得△PBE是以BE为直角边的直角三角形.
①当∠PBE=90°时,点P必须在BO的延长线上,
设直线OB的解析式为y=kx.

∴k=,y=x.
解方程组

(即为B点,舍去)
②当∠PEB为直角时,延长EP交⊙D于G,连接BG、OG,则BG为⊙D直径,
四边形OBEG为⊙D内接矩形.
∴OG=BE=.∠GOE=∠BEO=30°.
过G作GH⊥y轴于H,则GH=,OG=,OH=.G(-).
可求得直线EG的解析式为y=x+2.
解方程组
(即为E点,舍去)
∴点P的坐标为(-,-)或(-).
点评:本题考查了圆周角定理、一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2005年湖北省襄樊市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(2005•襄阳)已知:OE是⊙E的半径,以OE为直径的⊙D与⊙E的弦OA相交于点B,在如图所示的直角坐标系中,⊙E交y轴于点C,连接BE、AC.
(1)当点A在第一象限⊙E上移动时,写出你认为正确的结论:______(至少写出四种不同类型的结论);
(2)若线段BE、OB的长是关于x的方程x2-(m+1)x+m=0的两根,且OB<BE,OE=2,求以E点为顶点且经过点B的抛物线的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使得△PBE是以BE为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明其理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2005年全国中考数学试题汇编《圆》(11)(解析版) 题型:填空题

(2005•襄阳)如图,已知半圆的直径AB=4cm,点C、D是这个半圆的三等分点,则弦AC、AD和围成的阴影部分面积为    cm2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2005年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》(04)(解析版) 题型:填空题

(2005•襄阳)已知实数a、b满足等式a2-2a-1=0,b2-2b-1=0,则的值是   

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2005年湖北省襄樊市中考数学试卷(解析版) 题型:填空题

(2005•襄阳)已知实数a、b满足等式a2-2a-1=0,b2-2b-1=0,则的值是   

查看答案和解析>>

同步练习册答案