Question

已知：如图，等边△ABC中，AB=1．若D、E分别是BC、AC上的点（点D与B、C不重合），且∠ADE=60°．设BD=x，AE=y．
（1）找出与∠BAD相等的角，并给出证明；
（2）求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；
（3）△ADE可能为等边三角形吗？如若可能，求出此时x值，若不可能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得∠B=60°，再根据三角形内角和得到∠BAD+∠ADB=120°，而∠ADE=60°，利用平角的定义得到∠ADB+∠CDE=120°，然后根据等量代换即可得到∠BAD=∠CDE；
（2）根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=1，则DC=1-x，CE=1-y，易证得△ABD∽△DCE，利用相似比得1：（1-x）=x：（1-y），整理得y=x²-x+1，然后配方，根据二次函数的最值问题求解；
（3）由于∠BAC=60°，点D与B、C不重合，则∠DAE≠60°，然后根据等边三角形的判定即可判断△ADE不可能为等边三角形．

解答：解：（1）与∠BAD相等的角为∠CDE．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
∴∠BAD=∠CDE；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=1，
设BD=x，AE=y，则DC=1-x，CE=1-y，
∵∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴AB：DC=BD：CE，即1：（1-x）=x：（1-y），
∴y=x²-x+1，
∵y=（x-

1

2

）²+

3

4

，
∴当x=

1

2

时，y有最值为

3

4

；
（3）△ADE不可能为等边三角形．理由如下：
∵点D与B、C不重合，
而∠BAC=60°，
∴∠DAE≠60°，
∴△ADE不可能为等边三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了二次函数的最值问题以及等边三角形的判定与性质．