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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-
    3
    2
    x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
    （1）若直线y=-
    3
    2
    x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；
    （2）在（1）的条件下，当直线y=-
    3
    2
    x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
    （3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．
    分析：（1）根据直线y=-
    3
    2
    x+b平分矩形OABC的面积，知道其必过矩形的中心，然后求得矩形的中心坐标为（6，3），代入解析式即可求得b值；
    （2）假设存在ON平分∠CNM的情况，分当直线PM与边BC和边OA相交和当直线PM与直线BC和x轴相交这两种情况求得DM的值就存在，否则就不存在；
    （3）假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处，连接PO′、OO′，得到△OPO′为等边三角形，从而得到∠OPD=30°，然后根据（2）知∠OPD＞30°，得到沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；若设沿直线y=-
    3
    2
    x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OAO′中，利用正切的定义求得a值即可得到将矩形OABC沿直线折叠，点O恰好落在边BC上；
    解答：解：（1）∵直线y=-
    3
    2
    x+b平分矩形OABC的面积，
    ∴其必过矩形的中心
    由题意得矩形的中心坐标为（6，3），
    ∴3=-
    3
    2
    ×6+b
    解得b=12；

    （2）如图1假设存在ON平分∠CNM的情况
    ①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H
    ∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
    ∴OH=OC=6
    由（1）知OP=12，
    ∴∠OPM=30°
    ∴OM=OP•tan30°=4
    		3

    当y=0时，由-
    3
    2
    x+12=0解得x=8，
    ∴OD=8
    ∴DM=8-4
    		3
    ；
    ②当直线PM与直线BC和x轴相交时
    同上可得DM=8+4
    		3
    （或由OM=MN解得）；

    （3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP
    由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′
    ∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD=30°
    而由（2）知∠OPD＞30°
    所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；
    如图3设沿直线y=-
    3
    2
    x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处
    连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a
    由题意得：CP′=a-6，∠OPD=∠AO′O
    在Rt△OPD中，tan∠OPD=
    OD
    OP

    在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=
    OA
    AO′

    ∴
    OD
    OP
    =
    OA
    AO′
    ，即
    8
    12
    =
    6
    AO′
    ，AO′=9
    在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2
    解得a=
    39
    4
    ，12-
    39
    4
    =
    9
    4

    所以将直线y=-
    3
    2
    x+12沿y轴向下平移
    9
    4
    个单位得直线y=-
    3
    2
    x+
    39
    4
    ，将矩形OABC沿直线y=-
    3
    2
    x+
    39
    4
    折叠，点O恰好落在边BC上．
    点评：本题考查了一次函数的综合运用，特别是在（2）（3）小题中对可能出现的各种情况都进行了分类讨论，题目综合性强，难度较大．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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