【题目】如图(1),在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C,过点P作PD⊥AB于点D,将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP,设点P的运动时间为x(s).
(1)当点A′落在边BC上时,求x的值;
(2)在动点P从点A运动到点C过程中,当x为何值时,△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形;
(3)如图(2),另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C,过点Q作QE⊥AB于点E,将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ,连结A′B′,当直线A′B′与△ABC的一边垂直时,求线段A′B′的长.
【答案】
(1)
解:如图1,∵在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
∴AC= =4cm,
当点A′落在边BC上时,由题意得,四边形APA′D为平行四边形,
∵PD⊥AB,
∴∠ADP=∠C=90°,
∵∠A=∠A,
∴△APD∽△ABC,
∵AP=5x,
∴A′P=AD=4x,PC=4﹣5x,
∵∠A′PD=∠ADP,
∴A′P∥AB,
∴△A′PC∽△ABC,
∴ ,即 = ,
解得:x= ,
∴当点A′落在边BC上时,x=
(2)
解:当A′B=BC时,(5﹣8x)2+(3x)2=32,
解得: .
∵x≤ ,
∴ ;
当A′B=A′C时,x=
(3)
解:Ⅰ、当A′B′⊥AB时,如图6,
∴DH=PA'=AD,HE=B′Q=EB,
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5,
∴x= ,
∴A′B′=QE﹣PD=x= ;
Ⅱ、当A′B′⊥BC时,如图7,
∴B′E=5x,DE=5﹣7x,
∴cosB= ,
∴x= ,
∴A′B′=B′D﹣A′D= ;
Ⅲ、当A′B′⊥AC时,如图8,
由(1)有,x= ,
∴A′B′=PA′sinA= ;
当A′B′⊥AB时,x= ,A′B′= ;
当A′B′⊥BC时,x= ,A′B′= ;
当A′B′⊥AC时,x= ,A′B′=
【解析】(1)根据勾股定理求出AC,证明△APD∽△ABC,△A′PC∽△ABC,根据相似三角形的性质计算;(2)分A′B=BC、A′B=A′C两种情况,根据等腰三角形的性质解答;(3)根据题意画出图形,根据锐角三角函数的概念计算.
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【题目】2015年1月,市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价.评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查,了解他们每天在课外用于学习的时间,并绘制成如下不完整的统计图.
根据上述信息,解答下列问题:
(1)本次抽取的学生人数是 ;扇形统计图中的圆心角α等于 ;补全统计直方图;
(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试,每5人一组进行.在随机分组时,小红、小花两名女生被分到同一个小组,请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率.
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【题目】如图,已知矩形ABCD(AB<AD).
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹;
①以点A为圆心,以AD的长为半径画弧交边BC于点E,连接AE;
②作∠DAE的平分线交CD于点F;
③连接EF;
(2)在(1)作出的图形中,若AB=8,AD=10,则tan∠FEC的值为 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=18,cosB= ,把△ABC绕着点C旋转,使点B与AB边上的点D重合,点A落在点E处,则线段AE的长为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【题目】“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时默写50首古诗词,若每正确默写出一首古诗词得2分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表: 请结合图表完成下列各题:
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 50≤x<60 | 6 |
第2组 | 60≤x<70 | 8 |
第3组 | 70≤x<80 | 14 |
第4组 | 80≤x<90 | a |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
(1)表中a的值为;
(2)频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于80分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
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【题目】某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团,全校3000名学生每人都参加且只参加了其中一个社闭的活动,校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查,并将调查结果绘制了如图不完整的统计图,请根据统计图完成下列问题.
(1)参加本次调查有名学生;请你补全条形图;
(2)在扇形图中,表示机器人扇形的圆心角的度数为度;
(3)根据调查数据分析,全校共有名学生参加了合唱社团.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动,点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动,P、Q同时出发,用t(s)表示运动的时间(0≤t≤5).
(1)当t为何值时,以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似.
(2)分别过点A,B作直线CP的垂线,垂足为D,E,设AD+BE=y,求y与t的函数关系式;并求当t为何值时,y有最大值.
(3)直接写出PQ中点移动的路径长度.
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【题目】如图,已知一次函数y=x+b与反比例函数y= 的图象交于A、B两点,其中点A的坐标为(2,3).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)请根据图象直接写出不等式x+b> 的解集.
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