Question

8．如图，抛物线y=-x²-2x+3的图象与x轴交于A．B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）判断以点A，C，D为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（3）点M（ m，0）（-3＜m＜-1）为线段AB上一点，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，得矩形PQNM，当矩形PQMN的周长最大时，m的值是多少？并直接写出此时△AEM的面积．

Answer 1

分析 （1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．
（2）结论：△ACD是直角三角形．连接CD、AD，设抛物线的对称轴交AC于点H，过点C作CF⊥DH于点F，只要证明DF=FH=CF即可解决问题．
（3）设M点横坐标为m，则PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周长d=-2m²-8m+2，将-2m²-8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．

解答 解：（1）由抛物线y+-x²-2x+3可得，当x=0时，y=0，即C（0，3）．
当y=0，-x²-2x+3=0，解得，x=-3或x=l，令x=0，得y=3，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
把y=-x²-2x+3化为顶点式为y=-（x+1）²+4，
∴D（-1，4）．

（2）结论：△ACD是直角三角形，理由如下，
连接CD、AD，设抛物线的对称轴交AC于点H，过点C作CF⊥DH于点F，则F（-1，3）．
由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x+3，
把x=-1代入y=x+3得，y=2，即H（-1，2），
∴DF=4-3=1，FH=3-2=1，
∴DF=FH=CF=1，
∴∠HCD=90°，
∴△ACD是直角三角形．

（3）由D（-1，4）可知，对称轴为x=-1，
∵M（m，0），∴PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）
=（-m²-2m+3-2m-2）×2
=-2m²-8m+2，
∵-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴m=-2时，矩形的周长最大，
∵A（-3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解析式y=x+3，当x=-2时，则E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$•AM•EM=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质、一元二次方程的解法等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，本题体现了数形结合、方程思想，属于中考压轴题．