Question

14．如图，已知E，F是正方形ABCD的边BC和CD上的两点，且AE=AF，那么，当AB=4时，△AEF的面积S是CE的长x的函数吗？如果是，写出它的表达式，并回答x取何值时，△AEF的面积是最大的，求出此时△AEF的面积与正方形ABCD的面积之比．

Answer 1

分析 由已知可得，AB=BC=CD=AD=4，CE=x，由图形得出y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，便可求出x与S的关系式．

解答 解：（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF=4-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，
S=4²-$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$×4（4--x）-$\frac{1}{2}$x²
S=-$\frac{1}{2}$x²+4x（0＜x≤4），
当AB=4时，△AEF的面积S是CE的长x的函数．
S=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8
当x=4时，S最大=8，
△AEF的面积与正方形ABCD的面积之比是8：16=1：2．

点评 本题考查了二次函数的应用，利用面积的和差得出二次函数是解题关键．