Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在第一象限内的此抛物线上，且OE⊥BC于D，求点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PA与PE之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OA、OC的长，即可得出A、C两点的坐标，然后将两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）不难得出B点坐标为（3，0），因此△OBC是等腰直角三角形，如果OE⊥BC，那么E点必为直线y=x与抛物线的交点，由此可求出E点的坐标．
（3）由于B点就是A点关于对称轴的对称点，因此只需求出直线BE与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标．那么PA、PE的差的最大值就是BE的长，可根据BE的坐标来求出这个最大值．

解答：解：（1）根据题意，得A（-2，0）、C（0，3）．
∵抛物线y=-

1

2

x2+bx+c过A（-2，0）、C（0，3）两点，
∴

-2-2b+c=0 c=3

解得

b= 1 2 c=3

∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由y=-

1

2

x²+

1

2

x+3可得B点坐标为（3，0）．
∴OB=OC=3．
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC．（4分）
∴点E的横坐标等于纵坐标．
设E（x，y）．
解方程组

y=x y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3

得

x1=2 y1=2

，

x2=-3 y2=-3

∴点E的坐标为（2，2）．

（3）在抛物线的对称轴上存在一点P，
使线段PA与PE之差的值最大．
当点P为抛物线的对称轴x=

1

2

和BE所在的直线y=-2x+6的交点时，
PA-PE=PB-PE=BE，其值最大．
BE=

12+22

=

5

．（6分）
由

x= 1 2 y=-2x+6

解得

x= 1 2 y=5

∴点P的坐标为（

1

2

，5）．
∴点P为（

1

2

，5）时PA-PE的最大值为

5

．

点评：考查二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意的是（3）中确定P点的位置是解题的关键．