Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2

3

，0），点B（0，2），点C是线段OA的中点．
（1）点P是直线AB上的一个动点，当PC+PO的值最小时，
①画出符合要求的点P（保留作图痕迹）；
②求出点P的坐标及PC+PO的最小值；
（2）当经过点O、C的抛物线y=ax²+bx+c与直线AB只有一个公共点时，求a的值并指出这个公共点所在象限．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①利用轴对称的性质确定点P的位置；
②作DF⊥OA于点F，求出直线OD的表达式，得出直线AB与直线OD的交点即可得出点P的坐标；
（2）将O、C的坐标代入可得抛物线解析式为y=ax²+

3

ax，联立抛物线与直线AB解析式，利用一元二次方程的知识确定a的值，继而得出答案．

解答：解：（1）①如图：
②如图，作DF⊥OA于点F，
根据题意，得：AC=CO=

3

，∠BAO=30°，CE=DE，
∴CE=

1

2

AC，
∴AC=2CE=

3

∴CD=2CE=AC=

3

，CF=

3

2

，DF=

3

2

，
∴D（-

3 3

2

，

3

2

），
求得直线AB的表达式为y=

3

3

x+2，
直线OD的表达式为y=-

3

3

x，
∴P（-

3

，1），
在△DFO中，可求得 DO=3．
∴PC+PO的最小值为3；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O、C，
∴y=ax²+

3

ax，
由题意得ax²+

3

ax=

3

3

x+2，
整理得：ax²+（

3

a-

3

3

）x-2=0，
∵△=（

3

a-

3

3

）²-4×（-2）a=0，
∴a=

-3±2 2

3

，
当a=

-3+2 2

3

时，公共点在第三象限；当a=

-3-2 2

3

时，公共点在第二象限．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、利用轴对称求最短路径及一元二次方程的知识，综合性较强，解答本题的关键是数形结合思想及方程思想的综合运用．