Question

矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-

3

4

x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax²-

9

4

x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：前两问由抛物线性质，用待定系数求出点D的坐标和抛物线的表达式；最后一问找三角形相似，作辅助线过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P₂，再根据相似三角形比例关系求出P点坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

4

x与BC边相交于D点，知D点纵坐标为-3，
∴代入直线得点D的坐标为（4，-3）．（2分）

（2）∵A（6，0）在抛物线上，代入抛物线的表达式得a=

3

8

，
∴y=

3

8

x²-

9

4

x．（4分）

（3）抛物线的对称轴与x轴的交点P₁符合条件．
∵OA∥CB，
∴∠P₁OM=∠CDO．
∵∠OP₁M=∠DCO=90°，
∴Rt△P₁OM∽Rt△CDO．（6分）
∵抛物线的对称轴x=3，
∴点P₁的坐标为P₁（3，0）．（7分）
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P₂．
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P₂MO=∠DOC．
∵∠P₂OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂MO∽Rt△DOC．（8分）
∴点P₂也符合条件，∠OP₂M=∠ODC．
∴P₁O=CO=3，∠P₂P₁O=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO．（9分）
∴P₁P₂=CD=4．
∵点P₂在第一象限，
∴点P₂的坐标为P₂（3，4），
∴符合条件的点P有两个，分别是P₁（3，0），P₂（3，4）．（11分）

点评：此题考查函数性质与坐标关系，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质．