Question

如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于R．有下列结论：①△PCQ∽△PER；②；③；④．其中正确的结论的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证出；
②作△DCE的边DC上的高EF，根据三角形的面积公式即可得出△DCE的面积；
③解直角△CEF，即可求出∠DCE的正切值；
④连接BP，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．
解答：解：①∵BE=BC，∴∠QCP=∠REP，又∵∠PQC=∠PRE=90°，∴△PCQ∽△PER，故正确；
②作△DCE的边DC上的高EF．∵BE=BC=1，∴DE=BD-BE=-1，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DF=DE=，∴S_△DCE=CD•EF=，故正确；
③在△CEF中，∠EFC=90°，EF=，CF=CD-DF=1-=，∴tan∠DCE==-1，故正确；
④连接BP，过C作CM⊥BD于M．∵BC=BE，∴S_△BCE=S_△BPE+S_△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BE×，∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1且正方形对角线BD=，又BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=BD=，∴PQ+PR=，故正确．
故选D．
点评：本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．解题关键是作出正确的辅助线．