Question

【题目】如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

（1）求证：MN=AM+BN．
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，

∴∠MAC=∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∠AMC=∠CNB，

∠MAC=∠NCB，

AC=CB，

△AMC≌△CNB（AAS），

AM=CN，MC=NB，

∵MN=NC+CM，

∴MN=AM+BN

（2）证明：结论：MN=BN﹣AM．

∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，

∴∠MAC=∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∠AMC=∠CNB，

∠MAC=∠NCB，

AC=CB，

△AMC≌△CNB（AAS），

AM=CN，MC=NB，

∵MN=CM﹣CN，

∴MN=BN﹣AM

【解析】（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．