Question

已知菱形ABCD中，∠B=60°，过D的直线与BA、BC的延长线分别交于E、F两点，又AF、CE交于M，
求证：CA²=CE•CM．

Answer 1

分析：由四边形ABCD为菱形，∠B=60°，得∠EAD=∠DCF=60°，并且△ABC为等边三角形，而∠EDA+∠CDF=120°，∠CDF+∠DFC=120°，得到∠EDA=∠DFC，则△ADE∽△CFD，得到

AE

AD

=

CD

CF

，而AC=AD=CD，则

AE

AC

=

AC

CF

，又∠EAC=∠ACF=120°，
得△ACE∽△CFA，有∠FAC=∠CEA，得到△CAM∽△CEA，写出对应线段的比即可得到结论．

解答：证明：∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°，
∴∠EAD=∠DCF=60°，并且△ABC为等边三角形，
而∠EDA+∠CDF=120°，∠CDF+∠DFC=120°，
∴∠EDA=∠DFC，
∴△ADE∽△CFD，
∴

AE

AD

=

CD

CF

，而AC=AD=CD，
∴

AE

AC

=

AC

CF

，
又∵∠EAC=∠ACF=120°，
∴△ACE∽△CFA，
∴∠FAC=∠CEA，
而∠ACE公共，
∴△CAM∽△CEA，
∴

CA

CE

=

CM

CA

，
即CA²=CE•CM．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质，有两个角对应相等的两个三角形相似；两边的比对应相等且这两边的夹角相等，则两个三角形相似．也考查了菱形和等边三角形的性质．