Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，点D是⊙O中弧AB的上的一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）填空：写出圆中一对相等的圆周角：∠

 

=∠

 

；
（2）求证：△ACE≌△BCD；
（3）若AB是直径，CD=1，求证：AD+BD的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得答案；
（2）根据等边对等角，可得等腰三角形的两底角相等，根据同弧所对的圆周角相等，可得两个等腰三角形的底角相等，等腰三角形的顶角相等，根据等式的性质，可得∠ACE=∠BCD，根据SAS，可得证明结论；
（3）根据全等三角形的性质，可得AE与BD的关系，根据勾股定理，可得DE的长，根据线段的和差，可得答案．

解答：解：（1）∠CBA=∠CDA或∠CAB=∠CBA等；
（2）证明：∵AC=BC，CE=CD，
∴∠CAB=∠CBA，∠E=∠CDE，
又∠CBA=∠CDE，∴∠ACB=∠ECD；
∵∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（3）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
若AB是直径，则∠ACB=90°，
∴∠ECD=90°，
CE=CD=1
∴DE=

2

CD=

2

，
∴AD+BD=AD+AE=DE=

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难度适中．