Question

如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是

AB

的中点，连接OA、OB．
（1）如图1，若∠AOB=120°，求证：四边形OACB是菱形，并求

AB

OC

的值．
（2）如图2，弦CD⊥OA于点E，若sin∠CDB=

1

3

，求tan∠DBC的值．

Answer 1

考点：菱形的判定,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质得出AC=OA=OB=BC，再利用菱形的判定得出即可，由

AM

AO

=

3

2

，得出

AB

OC

的值．
（2）首先构造直角三角形，求出FB以及FO的长，再利用垂径定理以及圆周角定理得出∠CBD=∠AOC=∠COB，进而得出答案．

解答：（1）证明：∵C是弧BC的中点，∠AOB=l20°
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．
∵∠AOC=60°，
∴

AM

AO

=

3

2

，
∴AM=

3

2

AO，
∴AB=

3

AO，
∵CO=AO，
∴

AB

OC

=

3

；

（2）解：连接CO并延长交⊙O于点M，连接BM，过点B作BF⊥CM于点F，
∵∠CDB=∠CMB，sin∠CDB=

1

3

，
∴sin∠CMB=

BC

CM

=

1

3

，
设BC=x，则MC=3x，
故BM=2

2

x，
∴BF•MC=BC•BM，
∴BF=

x•2 2 x

3x

=

2 2

3

x，
∴FO=

BO2-BF2

=

7

6

x，
∴tan∠FOB=

BF

FO

=

2 2 3 x

7 6 x

=

4 2

7

，
∵C是

AB

的中点，
∴∠AOC=∠COB，
∵弦CD⊥OA于点E，
∴

AC

=

AD

，
∴∠CBD=∠AOC=∠COB，
∴tan∠DBC=

4 2

7

．

点评：此题主要考查了菱形的判定以及圆周角定理以及其推论和勾股定理的等知识，用同一未知数表示出BF，FO的长是解题关键．