Question

定义：f（a，b）是关于 a、b的多项式，如果f（a，b）=f（b，a），那么f（a，b）叫做关于“对称多项式”．例如，如果f（a，b）=a²+a+b+b²，则f（b，a）=b²+b+a+a²，显然f（a，b）=f（b，a），所以f（a，b）是“对称多项式”．
（1）f（a，b）=a²-2ab+b²是“对称多项式”，试说明理由；
（2）请写一个“对称多项式”，f（a，b）=______（不多于四项）；
（3）如果f₁（a，b）和f₂（a，b）均为“对称多项式”，那么f₁（a，b）+f₂（a，b）一定是“对称多项式”吗？如果一定，说明理由，如果不一定，举例说明．

Answer 1

解：（1）∵f（b，a）=a²-2ab+b²，
则f（a，b）=f（a，b），故f（a，b）=a²-2ab+b²是“对称多项式”；

（2）f（a，b）=a+b，答案不唯一；

（3）不一定是，原因：当f₁（a，b）=a+b，f₂=-a-b，都是对称多项式，
而f₁（a，b）+f₂（a，b）=0，是单项式，不是多项式．
分析：（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的a，b互换，多项式不变就是，据此即可判断；
（2）根据定义即可写出，答案不唯一；
（3）根据两个多项式的和不一定是多项式即可判断．
点评：本题考查了整式的运算，理解对称多项式的定义是关键．