Question

如图①，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于D，PD的垂直平分线交OA的延长线于点C，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若P是OA延长线上的任意一点，其他条件不变，CD还是⊙O的切线吗？如果是，在备用图②中作出相应图形（请保留作图痕迹），并论证．

Answer 1

分析：（1）连接DO，首先利用垂直平分线的性质得出∠CDP=∠BPO，进而利用切线的判定求出即可；
（2）根据已知得出图象进而求出∠2+∠3=90°，即可得出答案．

解答：（1）证明：连OD．
∵PC=CD，
∴∠CPD=∠CDP而∠CPD=∠BPO，
∴∠CDP=∠BPO，
又∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠OBP+∠OP B=90°，
∴∠ODC=∠ODP+∠CDP=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）如图所示：
证明：连OD．
∵CD=CP，
∴∠3=∠4，
同理：∠1=∠2，
而∠1+∠4=90°从而得∠2+∠3=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线．

点评：此题主要考查了切线的判定与垂直平分线的性质，熟练利用切线的判定定理求出是解题关键．