Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，点O在中线CD上，设OC=xcm，当半径为3cm的⊙O与△ABC的边相切时，x=2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$或6．

Answer 1

分析 先求出AB=10$\sqrt{3}$，∠BDC=∠BCD=60°∠ACD=30°，分三种情况，利用⊙O的切线的特点构造直角三角形，用三角函数求解即可．

解答 解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=10$\sqrt{3}$，
∵CD为中线，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=5$\sqrt{3}$，
∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，
∵半径为3cm的⊙O，
∴OE=3，
①当⊙O与AB相切时，
如图1，

过点O做OE⊥AB于E，
在Rt△ODE中，∠BDC=60°，DE=3，
∴sin∠BDC=$\frac{OE}{OD}$，
∴OD=$\frac{OE}{sin∠BDC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$；
∴x=OC=CD-OD=5$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
②当⊙O与BC相切时，
如图2，

过O作OE⊥BC，
在Rt△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，
∴sin∠BCD=$\frac{OE}{OC}$，
∴OC=$\frac{OE}{sin∠BCD}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$cm；
∴x=OC=2$\sqrt{3}$；
③当⊙O与AC相切时，
如图3，

过O作OE⊥AC于E，
在Rt△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，
∴sin∠ACD=$\frac{OE}{OC}$，
∴OC=$\frac{OE}{sin∠ACD}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=6，
∴x=OC=6．
故答案为2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$或6．

点评 此题是切线的性质，主要考查了直角三角形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，解本题的关键是用圆的切线构造直角三角形，借助三角函数来求解．