Question

13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=$\frac{1}{3}$CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）求BF的长；
（3）若点P是射线BG上的一点，当BP的长为多少时，△BCP与△BCD相似？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理进行证明即可；
（2）根据勾股定理得出AB的长，再利用三角形的中位线定理解答即可；
（3）分两种情况进行分析，根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答即可．

解答 证明：（1）∵BF∥DE，且AD=BD，
∴AC=CG，
∴BG=2CD，
∵∠C=90°，AD=BD，
∴AB=2CD，
∴AB=BG；
（2）∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∵CE=$\frac{1}{3}$CD，
∴DE=$\frac{10}{3}$，
∴BF=2DE=$\frac{20}{3}$；
（3）由于AB=BG，∠C=90°，所以∠DBC=∠PBC．
第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：

在△BCP与△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠CPB}\\{∠DBC=∠PBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：

∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{BC}{BH}$，
∴$BH=\frac{16}{5}，BP=\frac{32}{5}$．

点评 此题考查四边形综合问题，关键是根据三角形的中位线定理和全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答即可．