Question

2．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

• A． AF=$\frac{1}{2}$CF
• B． ∠DCF=∠DFC
• C． 图中与△AEF相似的三角形共有4个
• D． tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故A正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．

解答 解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故A正确，不符合题意；
B、过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，故B正确，不符合题意；
C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C错误，符合题意．
D、设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{a}{2}}{b}$．
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故D正确，不符合题意．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．