Question

如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推．

（1）填写下表：

层数	1	2	3	4	…
该层对应的点数	1	6	12	18	…
所有层的总点数	1				…

（2）写出第n层所对应的点数（n≥2）；
（3）写出n层的正六边形点阵的总点数（n≥2）；
（4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？

Answer 1

（1）7、19、37；（2）；（3）；（4）11层

试题分析：根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，根据这个特征得到规律，再把这个规律应用于解题即可．
（1）第一层上的点数为1；
第二层上的点数为6=1×6；
第三层上的点数为6+6=2×6；
第四层上的点数为6+6+6=3×6；
…
第n层上的点数为（n-1）×6；
则2层六边形点阵的总点数为1+6=7
3层六边形点阵的总点数为1+6+12=19
4层六边形点阵的总点数为1+6+12+18=37；
（2）n层六边形点阵的总点数为1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
；
（3）由题意得
解得（舍去）
答：共有11层.
点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．